Question

2．已知直線2ax+3by=$\sqrt{2}$與圓x²+y²=16交于A，B兩點，且△AOB為直角三角形，其中O為坐標原點，則4a+12b的最大值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由直線2ax+3by=$\sqrt{2}$與圓x²+y²=16相交于A，B兩點，且△AOB為直角三角形，可得|AB|=$4\sqrt{2}$，圓心O（0，0）到直線2ax+3by=$\sqrt{2}$的距離d=$2\sqrt{2}$，由點到直線的距離公式列式得到a，b的關系，然后利用三角代換求得4a+12b的最大值．

解答 解：∵直線2ax+3by=$\sqrt{2}$與圓x²+y²=16相交于A，B兩點，且△AOB為直角三角形，∴|AB|=$4\sqrt{2}$．
∴圓心O（0，0）到直線2ax+3by=$\sqrt{2}$的距離d=$\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{4{a}^{2}+9^{2}}}=2\sqrt{2}$，化為4（4a²+9b²）=1．
令4a=cosθ，6b=sinθ，得4a+12b=2sinθ+cosθ=$\sqrt{5}sin（θ+φ）$（tanφ=$\frac{1}{2}$）．
∴4a+12b的最大值為$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了直線與圓相交問題，考查點到直線的距離公式的應用，訓練了利用三角代換求最值，屬于中檔題．