Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，BC=PD=2，E為PC的中點，

CG

=

1

3

CB

．
（I）求證：PC⊥BC；
（II）求三棱錐C-DEG的體積；
（III）AD邊上是否存在一點M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的長；否則，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由PD⊥BC，BC⊥CD，推出BC⊥平面PCD，從而證明 PC⊥BC．
（II）由GC是三棱錐G-DEC的高，三棱錐C-DEG的體積和三棱錐G-DEC的體積相等，
通過求三棱錐G-DEC的體積得到三棱錐C-DEG的體積．
（III）連接AC，取AC中點O，連接EO、GO，延長GO交AD于點M，則PA∥平面MEG，由三角形相似可得 AM=CG=

2

3

．

解答：解：（I）證明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，（1分）
又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，（2分）∵PDICE=D，
∴BC⊥平面PCD，又∵PC?面PBC，∴PC⊥BC．（4分）
（II）解：∵BC⊥平面PCD，
∴GC是三棱錐G-DEC的高．（5分）
∵E是PC的中點，∴S△EDC=

1

2

S△EDC=

1

2

S△PDC=

1

2

•(

1

2

•2•2)=1．（6分）
∴VC-DEG=VG-DEC=

1

3

GC•S△DEC=

1

3

•

2

3

•1=

2

9

．（8分）
（III）連接AC，取AC中點O，連接EO、GO，延長GO交AD于點M，則PA∥平面MEG．（9分）
下面證明之：
∵E為PC的中點，O是AC的中點，∴EO∥平面PA，（10分）
又∵EO?平面MEG，PA?平面MEG，∴PA∥平面MEG，（11分）
在正方形ABCD中，∵O是AC中點，∴△OCG≌△OAM，
∴AM=CG=

2

3

，∴所求AM的長為

2

3

． （12分）

點評：本題主要考查線面平行與垂直關系、多面體體積計算等基礎知識，考查空間想象能、邏輯思維能力、運算求解能力和探究能力、考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．