Question

設S_n是數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的前n項和，a₁=a，且S_n²=3n²a_n+S_n-1²，a_n≠0，n=2，3，4，…．
（1）證明數(shù)列{a_n+2-a_n}（n≥2）是常數(shù)數(shù)列；
（2）試找出一個奇數(shù)a，使以18為首項，7為公比的等比數(shù)列{b_n}（n∈N^*）中的所有項都是數(shù)列{a_n}中的項，并指出b_n是數(shù)列{a_n}中的第幾項．

Answer 1

解：（1）當n≥2時，由已知得S_n²-S_n-1²=3n²a_n．
因為a_n=S_n-S_n-1≠0，所以S_n+S_n-1=3n²．①
于是S_n+1+S_n=3（n+1）²．②
由②-①得：a_n+1+a_n=6n+3．③
于是a_n+2+a_n+1=6n+9．④
由④-③得：a_n+2-a_n=6．⑤
即數(shù)列{a_n+2-a_n}（n≥2）是常數(shù)數(shù)列．
（2）由①有S₂+S₁=12，所以a₂=12-2a．
由③有a₃+a₂=15，所以a₃=3+2a，
而⑤表明：數(shù)列{a_2k}和{a_2k+1}分別是以a₂，a₃為首項，6為公差的等差數(shù)列．
所以a_2k=a₂+（k-1）×6=6k-2a+6，a_2k+1=a₃+（k-1）×6=6k+2a-3，k∈N*．
由題設知，b_n=18×7^n-1．當a為奇數(shù)時，a_2k+1為奇數(shù)，而b_n為偶數(shù)，
所以b_n不是數(shù)列{a_2k+1}中的項，b_n只可能是數(shù)列{a_2k}中的項．
若b₁=18是數(shù)列{a_2k}中的第k₀項，
由18=6k₀-2a+6得a=3k₀-6，取k₀=3，得a=3．
此時a_2k=6k，由b_n=a_2k得18×7^n-1=6k，k=3×7^n-1∈N*，
從而b_n是數(shù)列{a_n}中的第6×7^n-1項．
分析：（1）由已知得S_n+S_n-1=3n²，S_n+1+S_n=3（n+1）²．所以a_n+1+a_n=6n+3．由此能夠推導出數(shù)列{a_n+2-a_n}（n≥2）是常數(shù)數(shù)列．
（2）由題設條件知a₂=12-2a．a(chǎn)₃=3+2a，數(shù)列{a_2k}和{a_2k+1}分別是以a₂，a₃為首項，6為公差的等差數(shù)列．由此能夠推導出b_n是數(shù)列{a_n}中的第6×7^n-1項．
點評：本題考查數(shù)列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．