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如圖，已知正方體的棱長為2，E、F分別是、的中點，過、E、F作平面交于G．
(l)求證：EG∥；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求正方體被平面所截得的幾何體的體積．

(1)詳見試題解析(2) (3)

解析試題分析：（1）兩平行平面都與第三個平面相交，則交線平行；
（2）以為原點分別以為軸，建立空間直角坐標系，平面的法向量為，求出平面的法向量，利用空間向量的夾角公式求二面角的余弦值．
（3）所求幾何體是由正方體截去一個三棱臺而得到， 所以，．
（1）證明：在正方體中，因為平面平面,
平面平面平面平面

（2）解：如圖，以為原點分別以為軸，建立空間直角坐標系，
則有

設平面的法向量為則由和得
取得
又平面的法向量為
故
所以截面與底面所成二面角的余弦值為
（3）解：設所截幾何體的體積為
與相似，



故

考點：1、平面與平面平行的性質；2、空間直角坐標系；3、向量夾角公式；4、組合體的體積．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中, D、E分別是AB,BB1的中點.

(1)證明: BC1//平面A1CD；
(2)設AA1="AC=CB=1," AB=,求三棱錐D一A1CE的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O⊥平面ABCD, .

（1）證明: A1BD // 平面CD1B1;
（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA＝90°，，M是線段AE上的動點．
（1）試確定點M的位置，使AC∥平面MDF，并說明理由；
（2）在（1）的條件下，求平面MDF將幾何體ADE－BCF分成的兩部分的體積之比．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，點V是圓O所在平面外一點，是AC的中點，已知，．
（1）求證：AC⊥平面VOD；
（2）求三棱錐的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在五面體中，已知平面，，，，．

（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱垂直于底面,AC=BC,點D是AB的中點．

(1)求證：BC1∥平面CA1D；
(2)求證：平面CA1D⊥平面AA1B1B；
(3)若底面ABC為邊長為2的正三角形，BB1=求三棱錐B1-A1DC的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD為∠ACB的平分線，點E在線段AC上，CE＝4.如圖②所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連結AB，設點F是AB的中點．
圖①圖②
(1)求證：DE⊥平面BCD；
(2)若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點，求三棱錐B-DEG的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

把邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起形成三棱錐C-ABD的主視圖與俯視圖如圖所示，則左視圖的面積為        。

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