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【題目】已知函數

(1)當時,求函數在區(qū)間上的最大值和最小值;

(2)若在區(qū)間內,函數的圖象恒在直線下方,求實數的取值范圍.

【答案】(1), .(2)

【解析】試題分析: (1)求出函數的導函數判斷出其大于零得到函數在給定區(qū)間上為增函數,所以為最小值, 為最大值;(2)令,則的定義域為,即內恒成立,對函數求導,按照極值點是否落在區(qū)間內分類討論函數的單調性,得出函數的極值,利用的最大值小于零得出參數范圍.

試題解析:(1)當時, , ,

對于,有,∴在區(qū)間上為增函數,

,

(2)令,則的定義域為

在區(qū)間上,函數的圖象恒在直線下方等價于在區(qū)間上恒成立.

①若,令,得極值點,

,即時,在上有

此時, 在區(qū)間上是增函數,并且在該區(qū)間上有,不合題意;

,即時,同理可知, 在區(qū)間上,有,也不合題意;

②若,則有,此時在區(qū)間上恒有

從而在區(qū)間上是減函數.

要使在此區(qū)間上恒成立,只需滿足

由此求得的范圍是

綜合①②可知,當時,函數的圖象恒在直線下方.

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