【題目】已知正整數(shù)n都可以唯一表示為 ①的形式，其中m為非負(fù)整數(shù)，（，），.試求①中的數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞增或嚴(yán)格單調(diào)遞減的所有正整數(shù)n的和.

【答案】

【解析】

設(shè)A和B分別表示①中數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞增和遞減的所有正整數(shù)構(gòu)成的集合.符號(hào)S（M）表示數(shù)集M中所有數(shù)的和，并將滿足①式的正整數(shù)記為.

把集合A分成如下兩個(gè)不交子集和.

我們有.

對任意，令，則是到的雙射.

由此得，從而.

又對任意，令，

則g是B到的雙射，其中.

因?yàn)?/span>

所以B中共有個(gè)元素，因此

.

又令表示A中最高位數(shù)的正整數(shù)全體，A中其余的數(shù)和零所構(gòu)成的集合記為，

則.

對任意，令

則是B到的雙射，其中.

所以 .

最后對任意，令.

則是到B的雙射，其中.

所以

.

于是，

解之得，.

由于A和B中都含有1，2，…，8，因此所求正整數(shù)的和等于.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)對某市工薪階層關(guān)于“樓市限購令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽調(diào)了50人，他們月收入的頻數(shù)分布及對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表.

月收入(單位百元)

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

4

8

12

5

2

1

(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，并問是否有99％的把握認(rèn)為“月收入以5500元為分界點(diǎn)對“樓市限購令”的態(tài)度有差異；

月收入不低于55百元的人數(shù)

月收入低于55百元的人數(shù)

合計(jì)

贊成

a=______________

c=______________

______________

不贊成

b=______________

d=______________

______________

合計(jì)

______________

______________

______________

(2)試求從年收入位于（單位：百元）的區(qū)間段的被調(diào)查者中隨機(jī)抽取2人，恰有1位是贊成者的概率。

參考公式：，其中.

參考值表：

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，均垂直于平面，，，，.

（1）過的平面與平面垂直，請?jiān)趫D中作出截此多面體所得的截面，并說明理由；

（2）若，，求多面體的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知．

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與該圓相切，求直線的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F1（-2，0）和F2（2，0）的距離之和為．

（1）求動(dòng)點(diǎn)M軌跡C的方程；

（2）設(shè)N（0，2），過點(diǎn)P（-1，-2）作直線l，交橢圓C于不同于N的A，B兩點(diǎn)，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，問k1+k2是否為定值？若是的求出這個(gè)值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在梯形CDEF中，四邊形ABCD為正方形，且，將沿著線段AD折起，同時(shí)將沿著線段BC折起，使得E，F兩點(diǎn)重合為點(diǎn)P．

求證：平面平面ABCD；

求直線PB與平面PCD的所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分市某調(diào)查機(jī)構(gòu)針對該市市場占有率最高的兩種網(wǎng)絡(luò)外賣企業(yè)以下簡稱外賣A、外賣的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行了調(diào)查，從使用過這兩種外賣服務(wù)的市民中隨機(jī)抽取了1000人，每人分別對這兩家外賣企業(yè)評分，滿分均為100分，并將分?jǐn)?shù)分成5組，得到以下頻數(shù)分布表：

分?jǐn)?shù)

人數(shù)

種類

外賣A

50

150

100

400

300

外賣B

100

100

300

200

300

表中得分越高，說明市民對網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù)越滿意若得分不低于60分，則表明該市民對網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù)質(zhì)量評價(jià)較高現(xiàn)將分?jǐn)?shù)按“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”劃分成以下四個(gè)檔次：

分?jǐn)?shù)

服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)

0

1

2

3

視頻率為概率，解決下列問題：

從該市使用過外賣A的市民中任選5人，記對外賣A服務(wù)質(zhì)量評價(jià)較高的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望．

從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取1人，試求其評分中外賣A的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”與外賣B的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”的差的絕對值等于2的概率；

在M市工作的小王決定從外賣A、外賣B這兩種網(wǎng)絡(luò)外賣中選擇一種長期使用，如果從這兩種外賣的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”的期望角度看，他選擇哪種外賣更合適？試說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)平面上的一列點(diǎn)簡記為，若由構(gòu)成的數(shù)列滿足，（其中是與軸正方向相同的單位向量），則稱為“點(diǎn)列”.

（1）試判斷：，...是否為“點(diǎn)列”？并說明理由.

（2）若為“點(diǎn)列”，且點(diǎn)在點(diǎn)的右上方.任取其中連續(xù)三點(diǎn)，判斷的形狀（銳角，直角，鈍角三角形），并證明.

（3）若為“點(diǎn)列”，正整數(shù)滿足：，且，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，對每一個(gè)正整數(shù)，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，第項(xiàng)之后各項(xiàng)的最小值記為，記．

（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）證明：“數(shù)列單調(diào)遞增”是“”的充要條件；

（3）若對任意恒成立，證明：數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

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