(滿分12分)已知橢圓的一個頂點為B,離心率,
直線l交橢圓于M、N兩點.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(II)如果ΔBMN的重心恰好為橢圓的右焦點F,求直線的方程.
(1); (2).
解析試題分析:(1)由已知,且,即,
∴,解得,∴橢圓的方程標準為;
(2)橢圓右焦點F的坐標為,
設(shè)線段MN的中點為Q,
由三角形重心的性質(zhì)知,又,
∴,故得,
求得Q的坐標為;
設(shè),則,
且,
以上兩式相減得,
,
故直線MN的方程為,即.
考點:本題主要考查橢圓的標準方程,橢圓的幾何性質(zhì),直線方程。
點評:中檔題,涉及橢圓的題目,在近些年高考題中是屢見不鮮,往往涉及求橢圓標準方程,研究直線與橢圓的位置關(guān)系。求橢圓的標準方程,主要考慮定義、a,b,c,e的關(guān)系,涉及直線于橢圓位置關(guān)系問題,往往應用韋達定理。本題利用“點差法”較方便的得到了直線的斜率,進一步確定得到直線方程。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的長軸長為,焦點是,點到直線的距離為,過點且傾斜角為銳角的直線與橢圓交于兩點,使得.
(1)求橢圓的方程;(2)求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知曲線上任意一點到兩個定點,的距離之和為4.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)過(0,-2)的直線與曲線交于兩點,且(為原點),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,橢圓右頂點到直線的距離為,離心率
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知A為橢圓與y軸負半軸的交點,設(shè)直線:,是否存在實數(shù)m,使直線與(Ⅰ)中的橢圓有兩個不同的交點M、N,是∣AM∣=∣AN∣,若存在,求出 m的值;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓 經(jīng)過點其離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩點,以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中頂點P在橢圓上,為坐標原點.求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知拋物線:經(jīng)過橢圓:的兩個焦點.設(shè),又為與不在軸上的兩個交點,若的重心(中線的交點)在拋物線上,
(1)求和的方程.
(2)有哪幾條直線與和都相切?(求出公切線方程)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知橢圓的兩焦點在軸上, 且兩焦點與短軸的一個頂點的連線構(gòu)成斜邊長為2的等腰直角三角形。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點的動直線交橢圓C于A、B兩點,試問:在坐標平面上是否存在一個定點Q,使得以AB為直徑的圓恒過點Q ?若存在求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,為橢圓上的一個動點,弦、分別過焦點、,當垂直于軸時,恰好有
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè).
①當點恰為橢圓短軸的一個端點時,求的值;
②當點為該橢圓上的一個動點時,試判斷是否為定值?
若是,請證明;若不是,請說明理由.
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