設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1,n=1,2,3,….
(1)求a1,a2;
(2)猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式,并給出嚴(yán)格的證明.
【答案】分析:(1)驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí),x2-a1x-a1=0有一根為a1根據(jù)根的定義,可求得a1,同理,當(dāng)n=2時(shí),也可求得a2;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題時(shí)分為兩個(gè)步驟,第一步,先證明當(dāng)當(dāng)n=1時(shí),已知結(jié)論成立,第二步,先假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,利用此假設(shè)結(jié)合題設(shè)條件證明當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立即可.
解答:解:(1)當(dāng)n=1時(shí),x2-a1x-a1=0有一根為S1-1=a1-1,
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=
當(dāng)n=2時(shí),x2-a2x-a2=0有一根為S2-1=a2-,
于是(a2-2-a2(a2-)-a2=0,
解得a2=
(2)由題設(shè)(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,
Sn2-2Sn+1-anSn=0.
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1
代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0.①
由(1)得S1=a1=,S2=a1+a2=+=
由①可得S3=.由此猜想Sn=,n=1,2,3,.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論.
(i)n=1時(shí)已知結(jié)論成立.
(ii)假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即Sk=,當(dāng)n=k+1時(shí),由①得Sk+1=,即Sk+1=,故n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.
綜上,由(i)、(ii)可知Sn=對(duì)所有正整數(shù)n都成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)學(xué)歸納法的基本形式:
設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題,若1°P(n)成立(奠基)
2°假設(shè)P(k)成立(k≥n),可以推出P(k+1)成立(歸納),則P(n)對(duì)一切大于等于n的自然數(shù)n都成立
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,且Sn=3n+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=an(2n-1),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn,a1=
3
2
,Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3
(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關(guān)系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,若Dn內(nèi)的整點(diǎn)(整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個(gè)數(shù)為an(n∈N*
(1)寫(xiě)出an+1與an的關(guān)系(只需給出結(jié)果,不需要過(guò)程),
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對(duì)一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•鄭州一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為( 。

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