Question

【題目】已知長方形 ， ， ，以 的中點 為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 .

（1）求以 為焦點，且過 兩點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在(1)的條件下，過點 作直線 與橢圓交于不同的兩點 ，設(shè) ，點 坐標(biāo)為 ，若 ，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得點 的坐標(biāo)分別為 ， ， .設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ，則 ，∴ .∴ ，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .

（2）解：由題意容易驗證直線 的斜率不為0，故可設(shè)直線 的方程為 .代入 中，得 .設(shè) ， ，由根與系數(shù)關(guān)系，得 ①， ②，∵ ，∴ 且 ，將上式①的平方除以②，得 ，即 ，所以 ，由 ，即 .∵ ， ， ，又 ， .故 .令 ，∵ ，∴ ， ， ，∵ ，∴ ，

【解析】（1）根據(jù)題意寫出點 E , F , C 的坐標(biāo)，再結(jié)合橢圓的定義求出橢圓的長半軸長a，利用待定系數(shù)法寫出橢圓方程.
（2）設(shè)出直線l的方程代入橢圓方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系找到與A、B點坐標(biāo)之間的關(guān)系，再把用直線方程中的參數(shù)表示出來，化歸為函數(shù)的最值問題求解.
【考點精析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．