Question

一人在如圖所示景點中的圓環(huán)道路上散步．他在交叉路口偏左走的概率為

1

2

，偏右走的概率為

1

2

（出口處不算交叉路口）．
（Ⅰ）求這個人路過的交叉路口數(shù)最少且走出景點的概率；
（Ⅱ）這個人有3天散步路過的交叉路口都最少，ξ表示這個人這3天中相同的線路次數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖可知，此人走出景點遇到的最少交叉路口數(shù)為4，求出相應(yīng)的概率，利用互斥事件的概率公式，即可求這個人路過的交叉路口數(shù)最少且走出景點的概率；
（Ⅱ）確定ξ的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求分布列和數(shù)學(xué)期Eξ．

解答：解：（Ⅰ）由圖可知，此人走出景點遇到的最少交叉路口數(shù)為4，共分：①入口⇒向左⇒向左⇒向左⇒向左⇒出口，②入口⇒向左⇒向右⇒向右⇒向左⇒出口，③入口⇒向右⇒向左⇒向左⇒向右⇒出口，④入口⇒向右⇒向右⇒向右⇒向右⇒出口，一共4條線路．設(shè)此人選擇這4條線路分別為事件A、B、C、D，設(shè)“此人遇到的交叉路口數(shù)為4”為事件E，則A、B、C、D互斥，且E=A+B+C+D
由題意，P（A）=P（B）=P（C）=P(D)=(

1

2

)4=

1

16

，
∴P(E)=P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=4×

1

16

=

1

4

．
答：這個人路過的交叉路口數(shù)最少且走出景點的概率為

1

4

．…6分
（Ⅱ）由題意，ξ=0，1，2，…7分
P(ξ=0)=

4×3×2

4×4×4

=

6

16

，P(ξ=1)=

C

2 3

•

4×3

4×4×4

=

9

16

，P(ξ=2)=

4

4×4×4

=

1

16

，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2
p	6 16	9 16	1 16

∴Eξ=0×

6

16

+1×

9

16

+2×

1

16

=

11

16

．…13分．

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．