Question

13．在四面體ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=4，AD=BC=5，則四面體ABCD的外接球的表面積為$\frac{77π}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以6，4，5為三邊的三角形作為底面，且以分別為x，y，z，長(zhǎng)、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z的長(zhǎng)方體，由此能求出球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積．

解答 解：由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，
所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以6，4，5為三邊的三角形作為底面，
且以分別為x，y，z，長(zhǎng)、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，
從而可得到一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z的長(zhǎng)方體，
并且x²+y²=36，x²+z²=16，y²+z²=25，
設(shè)球半徑為R，則有（2R）²=x²+y²+z²=$\frac{77}{2}$，
∴4R²=$\frac{77}{2}$，
∴球的表面積為S=4πR²=$\frac{77π}{2}$．
故答案為：$\frac{77π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．