Question

已知三點A、B、C的坐標分別為A（3，0）、B（0，3）、C（cosx，sinx）．
（1）若x∈R，求|

AC

|的最大值和最小值；
（2）若x≠

kπ

4

，k∈Z，且

AC

⊥

BC

，求

1+sin2x-cos2x

1+tanx

的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用數量積運算和余弦函數的單調性即可得出；
（2）利用向量垂直與數量積的關系、三角函數恒等變換即可得出．

解答： 解：（1）∵

AC

=(cosx-3，sinx)，
∴|

AC

|=

(cosx-3)2+sin2x

=

10-6cosx

，
∵x∈R，∴cosx∈[-1，1]，
當cosx=-1時，|

AC

|取得最大值4，
當cosx=-時，|

AC

|取得最小值2．
（2）∵

AC

⊥

BC

，
∴

AC

•

BC

=（cosx-3，sinx）•（cosx，sinx-3）=cosx（cosx-3）+sinx（sinx-3）=1-3cosx-3sinx=0，
化為sinx+cosx=

1

3

．
兩邊平方可得sin2x+cos2x+2sinxcosx=

1

9

，即2sinxcosx=-

8

9

，
∴

1+sin2x-cos2x

1+tanx

=

(cosx+sinx)2-(cosx-sinx)(cosx+sinx)

sinx+cosx cosx

=2sinxcosx=-

8

9

．

點評：本題考查了數量積運算、余弦函數的單調性、向量垂直與數量積的關系、三角函數恒等變換，考查了計算能力，屬于中檔題．