Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是AA₁、D₁C₁的中點，過D、M、N三點的平面與正方體的下底面相交于直線l；
（1）畫出直線l；
（2）設(shè)l∩A₁B₁=P，求PB₁的長；
（3）求D到l的距離．

Answer 1

（1）連接DM并延長交D₁A₁的延長線于Q．連接NQ，
則NQ即為所求的直線l．
（2）設(shè)QN∩A₁B₁=P，△A₁MQ≌△MAD，
∴A₁Q=AD=A₁D₁，A₁是QD₁的中點．
∴A₁P=

1

2

D₁N=

a

4

．∴PB₁=

3

4

a．
（3）作D₁H⊥l于H，連接DH，可證明l⊥平面DD₁H，則DH⊥l，則DH的長就是D到l的距離．
在Rt△QD₁N中，兩直角邊D₁N=

a

2

，D₁Q=2a，斜邊QN=

17

2

a，∴D₁H•QN=D₁N•D₁Q，即D₁H=

2 17

17

a，DH=

( 2 17 17 a)2+a2

=

357

17

a，∴D₁到l的距離為

357

17

a．