Question

已知F（x）=f（x）-g（x），其中f（x）=2log_a（4-x）（a＞0且a≠1），并且當且僅當點P（x₀，y₀）在f（x）的圖象上時，點Q（-

1

5

x₀，

1

2

y₀）在y=g（x）的圖象上．
（1）求y=g（x）的解析式；
（2）解關(guān)于x的不等式F（x）≥0．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由題意，令-

1

5

x₀=x，

1

2

y₀=y，則x₀=-5x，y₀=2y，代入f（x）求g（x）；
（2）化簡F（x）=2log_a（4-x）-log_a（4+5x）≥0，利用函數(shù)的定義域及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式．

解答： 解：（1）由題意，令-

1

5

x₀=x，

1

2

y₀=y，
則x₀=-5x，y₀=2y，
則2y=2log_a（4+5x），
則g（x）=log_a（4+5x），
（2）F（x）=f（x）-g（x）=2log_a（4-x）-log_a（4+5x）≥0，
即2log_a（4-x）≥log_a（4+5x），
則當a＞1時，

4-x＞0 4+5x＞0 (4-x)2≥4+5x

，
解得，-

4

5

＜x≤1，
當0＜a＜1時，

4-x＞0 4+5x＞0 (4-x)2≤4+5x

，
解得，1≤x＜4．

點評：本題考查了函數(shù)圖象的對稱性的應用及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用，屬于中檔題．