Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{a}-\frac{1}{{{a^x}+1}}（{a＞1}）$．
（Ⅰ）證明：y=f（x）在R上是增函數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，方程f（x）=-2x+1的根在區(qū)間（k，k+1）（k∈Z）內(nèi)，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)單調(diào)性的定義即可證明；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+2x-1，判斷出函數(shù)g（x）是R上的增函數(shù)，求出函數(shù)的零點(diǎn)區(qū)間，即可求出k的值．

解答 （Ⅰ）證明：∵x∈R，設(shè)x₁＜x₂，
則f（x1）-f（x2）=a-$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}+1}$-a+$\frac{1}{{a}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}}{（1+{a}^{{x}_{1}}）（1+{a}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₁＜x₂，且a＞1，
∴${a^{x_1}}-{a^{x_2}}＜0$．
又$（1+{a^{x_1}}）（1+{a^{x_2}}）＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）為增函數(shù)．
（Ⅱ）解：令g（x）=f（x）+2x-1，
當(dāng)a=2時(shí)，由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）是R上的增函數(shù)且連續(xù)，
又g（0）=f（0）-1=-1＜0，g（1）=$\frac{7}{6}$＞0，
所以，函數(shù)g（x）的零點(diǎn)在區(qū)間（0，1）內(nèi)，
即方程f（x）=-2x+1的根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，
∴k=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷，以及函數(shù)零點(diǎn)存在定理得應(yīng)用，屬于中檔題．