Question

（2008•臨沂二模）在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，SB=2

5

，SA=SC=2

3

，M、N分別是AB、SB的中點；
（1）證明：平面SAC⊥平面ABC；
（2）求直線MN與平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取AC中點D，連SD，BD，證明SD⊥平面ABC，利用面面垂直的判定，可得平面SAC⊥平面ABC；
（2）建立坐標(biāo)系，求出平面SCB的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線MN與平面SBC所成角的正弦值．

解答：（1）證明：取AC中點D，連SD，BD，
∵SA=SC，∴SD⊥AC
∵△ABC是邊長為4的正三角形，SB=2

5

，SA=SC=2

3

，
∴SD=2

2

，BD=2

3

∴SD⊥BD
∵AC∩BD=D
∴SD⊥平面ABC
∵SD?平面SAC
∴平面SAC⊥平面ABC；..（6分）
（2）解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），C（-2，0，0），B(0，2

3

，0)，S(0，0，2

2

)，M(1，

3

，0)，N(0，

3

，

2

)
∴

MN

=(-1，0，

2

)，

CS

=(2，0，2

2

)，

CB

=(2，2

3

，0)
設(shè)平面SCB的法向量為

n

=(x，y，z)，則有

2x+2 2 z=0 2x+2 3 y=0

，
令x=1，得到

n

=(1，-

3

3

，-

2

2

)…．…..（8分）
設(shè)直線MN與平面SBC所成角為θ，則sinθ=|cos＜

n

，

MN

＞|=

2 22

11

…..（12分）

點評：本題以三棱錐為載體，考查線面垂直，面面垂直，考查線面角，考查向量知識的運用，屬于中檔題．