Question

20．如圖，邊長為2的正三角形ABC放置在平面直角坐標系xOy中，AC在x軸上，頂點B與y軸上的定點P重合．將正三角形ABC沿x軸正方向滾動，即先以頂點C為旋轉中心順時針旋轉，當頂點B落在x軸上時，再以頂點B為旋轉中心順時針旋轉，如此繼續(xù)．當△ABC滾動到△A₁B₁C₁時，頂點B運動軌跡的長度為$\frac{8π}{3}$；在滾動過程中，$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意便可知道，點B的軌跡為兩個圓心角都為$\frac{2π}{3}$的圓弧和一個點，這樣即可求出點B的軌跡長度，分別求出點B在滾動前后的縱坐標的最大值，并求出P（$0，\sqrt{3}$），這樣即可求出$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$的最大值．

解答 解：根據題意知，點B的軌跡為兩個圓心角為$\frac{2π}{3}$所對的圓弧和一個點；
且圓弧的半徑為2；
∴頂點B運動軌跡的長度為$2•2•\frac{2π}{3}=\frac{8π}{3}$；
$\overrightarrow{OP}=（0，\sqrt{3}）$，設B（x，y）；
①沒滾動前點B坐標$（0，\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}=3$；
②第一次滾動后B點縱坐標y≤2；
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}≤2\sqrt{3}$；
③第二次滾動后B點坐標（3，0）；
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}=0$；
④第三次滾動后B點縱坐標y≤2；
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}≤2\sqrt{3}$；
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$的最大值為$2\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{8π}{3}，2\sqrt{3}$．

點評 考查弧長公式，運用坐標解決向量問題的方法，以及數(shù)量積的坐標運算．