Question

【題目】已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，時(shí)，有.

（1）證明在上是增函數(shù)；

（2）解不等式；

（3）若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析.

(2) .

(3) 或或.

【解析】分析：（1）任取，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)推知，讓除以再乘以配出的形式，進(jìn)而判斷出與0的關(guān)系，進(jìn)而證明出函數(shù)的單調(diào)性；

（2）將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解；

（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出t的范圍即可.

詳解：（1）任取，

則 ，

∵，∴，

由已知，，

∴，即，

∴在在上是增函數(shù)；

（2）∵是定義在上的奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，

∴不等式化為，

∴，解得；

（3）由（1）知在上是增函數(shù)，

∴在上的最大值為，

要使對(duì)恒成立，只要，

設(shè)，對(duì)，恒成立，

∴ ，

∴或或.