Question

【題目】已知點在函數(shù)的圖象上，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前 項和為，且是與的等差中項．

（）求數(shù)列的通項公式．

（）設(shè)，數(shù)列滿足，．求數(shù)列的前項和．

（）在（）的條件下，設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，對于任意的正整數(shù)，，恒有成立，且（為常數(shù)，），試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3)見解析.

【解析】分析：（1）本題考查求數(shù)列的通項公式，用數(shù)列的前n項和求是列的通項公式，注意對于第一項的驗證，又根據(jù)等比中項解決問題，這一道題目比較困難，第一問考查的內(nèi)容較多．
（2）構(gòu)造新數(shù)列，構(gòu)造數(shù)列時按照一般的方式來整理，整理后發(fā)現(xiàn)結(jié)果比較簡單，利用等比數(shù)列的前n項和公式求數(shù)列的和．
（3）本題證明數(shù)列是一個等差數(shù)列，應(yīng)用等差數(shù)列的定義來證明，只要數(shù)列的連續(xù)兩項之差是一個常數(shù)，問題得證，證明是一個常數(shù)的過程是一個數(shù)列和函數(shù)綜合的過程，用到所給的函數(shù)的性質(zhì)．

詳解：

（）依題意得，故．

又，即，

所以，當(dāng)時，．

又也適合上式，

故．

（）因為，

，因此．

由于，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列．

所以，所以．

所以．

（）方法一：

，

則．

所以．

因為已知為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．

方法二：

因為成立，且，

所以，

，

，

，

所以．

所以數(shù)列是等差數(shù)列．