Question

14．若直線y=$\frac{1}{2}$x+b與曲線f（x）=alnx相切．
（1）若切點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，求a，b；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求實(shí)數(shù)b的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（2），求出a的值，根據(jù)f（2）=ln2，求出b的值；
（2）設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，表示出b的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx+x（ln2-1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出b的最小值即可．

解答 解：（1）f（x）=alnx，f′（x）=$\frac{a}{x}$，f′（2）=$\frac{a}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得：a=1----------------2 分
f（2）=ln2，由ln2=1+b得：b=ln2-1---------------------5 分
（2）設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，f′（x₀）=$\frac{a}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{2}$，x₀=2a---------------------6 分
$\frac{1}{2}$x₀+b=alnx₀，a+b=aln2a，b=-a+aln2a=alna+a（ln2-1）（a＞0）--------------8 分
設(shè)g（x）=xlnx+x（ln2-1），g′（x）=lnx+ln2，
令g′（x）=lnx+ln2=0，即x=$\frac{1}{2}$，
0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，g′（x）＜0，x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）_min=g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴b_min=-$\frac{1}{2}$-----------------------12 分

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．