Question

2．（1）求過橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1內(nèi)一點P（1，1）且被該點平分的弦所在的直線方程；
（2）求橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1上的點到直線1：3x-2y-16=0的最短距離，并求取得最短距離時橢圓上的點的坐標．

Answer 1

分析 （1）設(shè)弦的兩端點的坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂），運用中點坐標公式和點滿足橢圓方程，兩式相減，求得直線的斜率，由點斜式方程可得所求直線的方程；
（2）可設(shè)與直線1：3x-2y-16=0平行且與橢圓相切的直線方程為3x-2y+t=0，聯(lián)立橢圓方程，消去y，由判別式為0，可得t的值，再由平行直線的距離，可得最短距離，解方程可得取得最短距離時橢圓上的點的坐標．

解答 解：（1）設(shè)弦的兩端點的坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由題意可得x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，①
且$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$=1，
兩式相減可得，$\frac{{（x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{2}$=0，
代入①，可得所求直線的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
可得直線的方程為y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），
即為x+2y-3=0；
（2）可設(shè)與直線1：3x-2y-16=0平行且與橢圓相切的直線方程為3x-2y+t=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y+t=0}\\{7{x}^{2}+4{y}^{2}=28}\end{array}\right.$，消去y可得16x²+6tx+t²-28=0，
由△=36t²-64（t²-28）=0，解得t=±8．
由題意可得t=-8時，兩直線的距離取得最小．
且為d=$\frac{|-16+8|}{\sqrt{9+4}}$=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$，
由16x²-48x+36=0，解得x=$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{7}{4}$．
可得最短距離時橢圓上的點的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{7}{4}$）．

點評 本題考查橢圓的方程的運用，注意運用點差法和點滿足橢圓方程，聯(lián)立直線方程，運用直線和橢圓相切的條件：判別式為0，考查兩平行直線的距離公式，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．