Question

【題目】函數(shù)f（x）=ex﹣alnx（其中a∈R，e為自然常數(shù)）
①a∈R，使得直線y=ex為函數(shù)f（x）的一條切線；
②對a＜0，函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）無零點(diǎn)；
③對a＜0，函數(shù)f（x）總存在零點(diǎn)；
則上述結(jié)論正確的是 ． （寫出所有正確的結(jié)論的序號）

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：對于①，函數(shù)f（x）=ex﹣alnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ex﹣ ，
設(shè)切點(diǎn)為（m，f（m）），則e=em﹣ ，em=em﹣alnm，
可取m=1，a=0，則a∈R，使得直線y=ex為函數(shù)f（x）的一條切線，故①正確；
對于②，a＜0，函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ex﹣ ，由x＞0，可得f′（x）＞0，
則導(dǎo)函數(shù)無零點(diǎn)，故②正確；
對于③，對a＜0，函數(shù)f（x）=ex﹣alnx，
由f（x）=0，可得ex=alnx，
分別畫出y=ex和y=alnx，（a＜0）的圖象，可得它們存在交點(diǎn)，
故f（x）總存在零點(diǎn)，故③正確．
所以答案是：①②③．

【考點(diǎn)精析】掌握命題的真假判斷與應(yīng)用是解答本題的根本，需要知道兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．