Question

12．如圖，A（-2，0），B（2，0），第一象限內(nèi)點C滿足∠ACB=60°，且△ABC的面積為$\sqrt{3}$．雙曲線Г以A、B為焦點，經(jīng)過點C．
（1）求雙曲線的方程；
（2）直線l過點B與雙曲線右支交于M、N兩點，且|AM|、|MN|、|AN|成等差數(shù)列，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），由題意可得c=2，運用三角形的面積公式和余弦定理，可得|AC|-|BC|=2$\sqrt{3}$，再由雙曲線的定義可得a，求得b，進(jìn)而得到雙曲線的方程；
（2）運用等差數(shù)列的中項的性質(zhì)和雙曲線的定義，可得|MN|=4$\sqrt{3}$，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立雙曲線的方程，運用韋達(dá)定理和弦長公式，解方程可得k，進(jìn)而得到所求直線的方程．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由題意可得c=2，$\frac{1}{2}$|AC|•|BC|sin60°=$\sqrt{3}$，即|AC|•|BC|=4，
又|AB|²=|AC|²+|BC|²-2|AC|•|BC|cos60°，
即為16=（|AC|-|BC|）²+|AC|•|BC|，
可得（|AC|-|BC|）²=16-4=12，
即為|AC|-|BC|=2$\sqrt{3}$，
由雙曲線的定義可得2a=2$\sqrt{3}$，即a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=1，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1；
（2）由雙曲線的定義可得|AM|-|BM|=|AN|-|BN|=2a=2$\sqrt{3}$，
可得|AM|+|AN|=4a+|BM|+|BN|=4$\sqrt{3}$+|MN|，
由|AM|、|MN|、|AN|成等差數(shù)列，可得|AM|+|AN|=2|MN|，
即有|MN|=4$\sqrt{3}$，
設(shè)過點B的直線的方程為y=k（x-2），
代入雙曲線的方程x²-3y²=3，可得（1-3k²）x²+12k²x-12k²-3=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{12{k}^{2}}{1-3{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{12{k}^{2}+3}{1-3{k}^{2}}$，
由弦長公式可得|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{144{k}^{4}}{（1-3{k}^{2}）^{2}}+\frac{48{k}^{2}+12}{1-3{k}^{2}}}$=4$\sqrt{3}$，
即為1+k²=2（3k²-1），
解得k=±$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即有直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{15}}{5}$（x-2）．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用三角形的面積公式和余弦定理，結(jié)合雙曲線的定義，考查直線的方程的求法，注意運用雙曲線的定義和等差數(shù)列的中項的性質(zhì)，聯(lián)立直線和雙曲線的方程，運用韋達(dá)定理和弦長公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．