Question

13．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}cos\frac{π}{2}（1-x），0≤x≤1\\{（\frac{1}{2}）^x}+1，x＞1\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=5[f（x）]²-（5a+6）f（x）+6a（a∈R）有且僅有6個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍（　�。�

• A． $（0，1]∪\left\{{\frac{3}{2}}\right\}$
• B． $（0，\frac{3}{2}]$
• C． $（0，1）∪\left\{{\frac{3}{2}}\right\}$
• D． $（0，\frac{3}{2}）∪\left\{0\right\}$

Answer 1

分析 由g（x）=0，可得f（x）=$\frac{6}{5}$或f（x）=a，利用函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}cos\frac{π}{2}（1-x），0≤x≤1\\{（\frac{1}{2}）^x}+1，x＞1\end{array}\right.$，可得f（x）=$\frac{6}{5}$有4個零點，則f（x）=a有2個不同的零點，即可得出結(jié)論．

解答 解：由g（x）=0，可得f（x）=$\frac{6}{5}$或f（x）=a，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}cos\frac{π}{2}（1-x），0≤x≤1\\{（\frac{1}{2}）^x}+1，x＞1\end{array}\right.$，
∴f（x）=$\frac{6}{5}$有4個零點，則f（x）=a有2個不同的零點，
∵$（\frac{1}{2}）^{x}+1＞1$，∴0＜a＜1，
a=$\frac{3}{2}$時，f（x）=a有2個不同的零點，即±1，
故選A．

點評 本題考查函數(shù)的零點，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．