Question

3．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足cos²B-cos²C-sin²A=sinAsinB．
（1）求角C；
（2）若c=2$\sqrt{6}$，△ABC的中線CD=2，求△ABC面積S的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理表示出cosC，把已知等式利用正弦定理化簡，整理后代入計(jì)算求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)．
（2）設(shè)∠ADC=α，則∠CDB=π-α．在△ADC與△ADB中，由余弦定理可得：b²+a²=20，在△ABC中，由余弦定理可得：b²+a²+ba=24．可得ba=4．即可得出．

解答 解：（1）∵△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，且cos²B-cos²C-sin²A=sinAsinB．
sin²C-sinAsinB=sin²A+sin²B，
∴由正弦定理化簡得：c²-ab=a²+b²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
可得：cosC=$-\frac{1}{2}$
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{2π}{3}$．
（2）（2）設(shè)∠ADC=α，則∠CDB=π-α．
在△ADC中，由余弦定理可得：b²=${2}^{2}+（\sqrt{6}）^{2}$-$2×\sqrt{6}×2×cosα$，
在△CDB中，由余弦定理可得：a²²=${2}^{2}+（\sqrt{6}）^{2}$-2×$2×\sqrt{6}$cos（π-α），
∴b²+a²=20，
在△ABC中，由余弦定理可得：$（2\sqrt{6}）^{2}$=b²+a²-2ba$cos\frac{2π}{3}$，化為：b²+a²+ba=24．
∴ba=4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$basin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理余弦定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．