Question

已知直線y=-x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線l：x-2y=0上．
（Ⅰ）求此橢圓的離心率；
（Ⅱ）若橢圓的右焦點關于直線l的對稱點在圓x²+y²=4上，求此橢圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出A、B兩點的坐標，由方程組

y=-x+1 x2 a2 + y2 b2 =1

得關于x的一元二次方程；由根與系數(shù)的關系，可得x₁+x₂，y₁+y₂；從而得線段AB的中點坐標，代入直線l的方程x-2y=0，得出a、c的關系，從而求得橢圓的離心率．
（Ⅱ）設橢圓的右焦點坐標為F（b，0），F(xiàn)關于直線l：x-2y=0的對稱點為（x₀，y₀），則由互為對稱點的連線被對稱軸垂直平分，可得方程組

y0-0 x0-b • 1 2 =-1 x0+b 2 -2× y0 2 =0

，解得x₀、y₀；代入圓的方程 x₀²+y₀²=4，得出b的值，從而得橢圓的方程．

解答：解：（Ⅰ）設A、B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由

y=-x+1 x2 a2 + y2 b2 =1

得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
由根與系數(shù)的關系，得x1+x2=

2a2

a2+b2

，y1+y2=-(x1+x2)+2=

2b2

a2+b2

，
且判別式△=4a²b²（a²+b²-1）＞0，即a²+b²-1＞0（*）；
∴線段AB的中點坐標為（

a2

a2+b2

，

b2

a2+b2

）．
由已知得

a2

a2+b2

-

2b2

a2+b2

=0，
∴a²=2b²=2（a²-c²），∴a²=2c²；故橢圓的離心率為e=

2

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，從而橢圓的右焦點坐標為F（b，0），
設F（b，0）關于直線l：x-2y=0的對稱點為（x₀，y₀），
則

y0-0

x0-b

•

1

2

=-1且

x0+b

2

-2×

y0

2

=0，
解得x0=

3

5

b且y0=

4

5

b．
由已知得 x₀²+y₀²=4，∴(

3

5

b)2+(

4

5

b)2=4，
∴b²=4，代入（Ⅰ）中（*）滿足條件
故所求的橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．

點評：本題考查了直線與橢圓的綜合應用問題，也考查了一定的邏輯思維能力和計算能力；解題時應細心解答．