Question

對于函數f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數f（x）的一個“穩(wěn)固區(qū)間”．現有四個函數：
①f（x）=e^x；
②f（x）=x³；
③f（x）=sinx；
④f（x）=x²-2x+2．
其中存在“穩(wěn)固區(qū)間”的函數有

 

．

Answer 1

考點：正弦函數的定義域和值域

專題：三角函數的圖像與性質

分析：根據“穩(wěn)定區(qū)間”的定義，我們要想說明函數存在“穩(wěn)定區(qū)間”，我們只要舉出一個符合定義的區(qū)間M即可，但要說明函數沒有“穩(wěn)定區(qū)間”，我們可以用反證明法來說明．由此對四個函數逐一進行判斷，即可得到答案．

解答： 解：：①對于函數f（x）=e^x 若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，由于函數是定義域內的增函數，故有e^a=a，e^b=b，
即方程e^x=x有兩個解，即y=e^x和y=x的圖象有兩個交點，這與即y=e^x和y=x的圖象沒有公共點相矛盾，
故①不存在“穩(wěn)定區(qū)間”．
②對于f（x）=x³ 存在“穩(wěn)定區(qū)間”，如 x∈[0，1]時，f（x）=x³ ∈[0，1]．
③對于函數f（x）=sinx，若正弦函數存在等值區(qū)間[a，b]，則在區(qū)間[a，b]上有sina=a，sinb=b，由正弦函數的值域知道[a，b]⊆[-1，1]，但在區(qū)間]⊆[-1，1]上僅有sin0=0，所以函數f（x）=sinx沒有“穩(wěn)固區(qū)間”．
對于④f（x）=x²-2x+2，存在“穩(wěn)定區(qū)間”，如 x∈[1，2]時，f（x）∈[1，2]．
故答案為：②④．

點評：本題考查的知識點是函數的概念及其構造要求，在說明一個函數沒有“穩(wěn)定區(qū)間”時，利用函數的性質、圖象結合反證法證明是解答本題的關鍵，屬于基礎題．