設(shè)函數(shù)y=f(x+1)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù),在區(qū)間(-∞,0)是減函數(shù),且圖象過點(1,0),則不等式(x-1)f(x)≤0的解集為( )
A.(-∞,0)∪[2,+∞)
B.(-2,0)∪[2,+∞)
C.(-∞,0]∪(1,2]
D.(-∞,0)∪(1,2)
【答案】分析:根據(jù)不等式(x-1)f(x)≤0,由積商符號法則,得到f(x)≥0,或f(x)≤0,根據(jù)函數(shù)y=f(x+1)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù),在區(qū)間(-∞,0)是減函數(shù),得到函數(shù)f(x)的對稱性和單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式f(x)≥0,或f(x)≤0.
解答:解:∵函數(shù)y=f(x+1)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù),
∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,
又∵函數(shù)y=f(x+1)在區(qū)間(-∞,0)是減函數(shù),
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1)是減函數(shù),在區(qū)間(1,+∞)是增函數(shù),
又f(2)=0
∴f(0)=0
∴當(dāng)x>1時,f(x)≤0=f(2)
∴1<x≤2
當(dāng)x<1時,f(x)≥0=f(0)
∴x≤0,∴x≤0.
綜上x≤0或1<x≤2.
故選C.
點評:考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,以及函數(shù)圖象的平移和根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、運動變化和分類討論的思想方法,屬中檔題.
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[-2,-1]∪[1,2]
[-2,-1]∪[1,2]

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已知函數(shù)f(x)=ax2+ln(x+1),(a∈R).
(Ⅰ)設(shè)函數(shù)Y=F(X-1)定義域為D
①求定義域D;
②若函數(shù)h(x)=x4+[f(x)-ln(x+1)](x+
1
x
)+cx2+f′(0)在D上有零點,求a2+c2的最小值;
(Ⅱ) 當(dāng)a=
1
2
時,g(x)=f′(x-1)+bf(x-1)-ab(x-1)2+2a,若對任意的x∈[1,e],都有
2
e
≤g(x)≤2e恒成立,求實數(shù)b的取值范圍;(注:e為自然對數(shù)的底數(shù))
(Ⅲ)當(dāng)x∈[0,+∞)時,函數(shù)y=f(x)圖象上的點都在
x≥0
y-x≤0
所表示的平面區(qū)域內(nèi),求實數(shù)a的取值范圍.

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