Question

【題目】已知函數．

（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求的單調區(qū)間；

（2）求證： 恒成立的充要條件是．

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．（2）詳見解析

【解析】試題分析：（1）求導得單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2）證明：①充分性．當時 ；②必要性． ，其中．由分類討論思想結合導數工具可得當不滿足題意，當時， 滿足題意，綜上所述， 恒成立的充要條件是．

試題解析：

因為，所以，

所以，解得．

令，得，所以得單調遞增區(qū)間為，

令，得，所以的單調遞減區(qū)間為．

（2）證明：①充分性．

當時， ， ，

所以當時， ，所以函數在上是增函數；

當時， ，所以函數在上是減函數．

所以．

②必要性．

，其中．

（i）當時， 恒成立，所以函數在上是增函數．

而，所以當時， ，與恒成立矛盾，

所以不滿足題意．

（ii）當時，

因為當時， ，所以函數在上是增函數；

當時， ，所以函數在上是減函數．

所以，

因為，所以當時， ，此時與恒成立矛盾，

所以．

綜上所述， 恒成立的充要條件是．