Question

定義：若函數對于其定義域內的某一數，有，則稱是的一個不動點. 已知函數.

(1) 當，時，求函數的不動點；

(2) 若對任意的實數b，函數恒有兩個不動點，求a的取值范圍；

(3) 在(2)的條件下，若圖象上兩個點A、B的橫坐標是函數的不動點，且A、B的中點C在函數的圖象上，求b的最小值.
（參考公式：的中點坐標為）

Answer 1

(1)，由，           ………………1分

解得或，所以所求的不動點為或-2.            ……3分

(2)令，則 ①

由題意，方程①恒有兩個不等實根，所以，      

即恒成立，                                      ……………6分

則，故                                 ……8分

(3)設A(x₁，x₁)，B(x₂，x₂)(x₁≠x₂)，，         ……9分

又AB的中點在該直線上，所以，

∴，                                     

而x₁、x₂應是方程①的兩個根，所以，即，

∴=-=-              ………12分

∴當 a=∈(0，1)時，b_min=-2                                     ……13分