Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log2（x+1），g（x）=log2（3x+1）．
（1）求出使g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，求函數(shù)y=g（x）﹣f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵f（x）=log2（x+1），g（x）=log2（3x+1），g（x）≥f（x），

∴3x+1≥x+1＞0，

∴x≥0．

即使g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍為[0，+∞）

（2）

解：∵y=g（x）﹣f（x）

=log2（3x+1）﹣log2（x+1）

=log2 （x≥0）．

令h（x）= =3﹣ ，

則h（x）為[0，+∞）上的增函數(shù)，

∴1≤h（x）＜3，

故y=g（x）﹣f（x）∈[0，log23]，

即函數(shù)y=g（x）﹣f（x）的值域?yàn)閇0，log23]

【解析】（1）利用對數(shù)函數(shù)y=log2x的單調(diào)性即可求得g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍；（2）分析函數(shù)y=g（x）﹣f（x）的單調(diào)性，結(jié)合x∈[0，+∞）可得函數(shù)y=g（x）﹣f（x）的值域．
【考點(diǎn)精析】利用對數(shù)函數(shù)的定義域和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知對數(shù)函數(shù)的定義域范圍:（0，+∞）；a變化對圖象的影響：在第一象限內(nèi),a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi),a越大圖象越靠高．