Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=8，b=-6，求f（x）的零點的個數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)a＞0，且x=1是f（x）的極小值點，試比較lna與-2b的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極小值小于0，從而判斷出函數(shù)的零點個數(shù)；
（Ⅱ）求出b1-2a，作差lna-（-2b）=lna+2-4a，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（a）的最大值，從而判斷出lna和-2b的大小即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a=8，b=-6，
${f^'}（x）=\frac{（2x-1）（8x+1）}{x}（x＞0）$
當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0，
當(dāng)$x＞\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
故f（x）的極小值是f（$\frac{1}{2}$），
又∵$f（\frac{1}{2}）=-1+ln2＜0$，
∴f（x）有兩個零點；
（Ⅱ） 依題有f′（1）=0，
∴2a+b=1即b=1-2a，
∴l(xiāng)na-（-2b）=lna+2-4a，
令g（a）=lna+2-4a，（a＞0）
則g′（a）=$\frac{1}{a}$-4=$\frac{1-4a}{a}$，
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{4}$時，g′（a）＞0，g（a）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞$\frac{1}{4}$時，g′（a）＜0，g（a）單調(diào)遞減．
因此g（a）＜g（$\frac{1}{4}$）=1-ln4＜0，
故lna＜-2b．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．