Question

17．設(shè)f（x）=xe^ax，g（x）=lnx+1
（Ⅰ）a=-1，f（x）與g（x）均在x₀取到最大值，求x₀及k的值；
（Ⅱ）a=k=1時(shí)，求證：f（x）≥g（x）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值，求出x₀的值，通過討論k的范圍，得到關(guān)于k的方程，解出即可；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=xe^x-x-lnx-1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）a=-1 時(shí)，f′（x）=-xe^-x+e^-x=e^-x（1-x），
f（x）在（-∞，1）遞增，（1，+∞）遞減，
∴f（x）_max=f（1），1為f（x）最大值點(diǎn)，
即x₀=1，g′（x）=k+$\frac{1}{x}$=$\frac{kx+1}{x}$，
k≥0時(shí)g（x） 在（0，+∞）增 f（x） 無最值，
k＜0時(shí)，g（x）在（0，-$\frac{1}{k}$）遞 增，在（-$\frac{1}{k}$，+∞）遞減，
g（x）的最大值為g（-$\frac{1}{k}$），
∴-$\frac{1}{k}$=1，解得：k=-1，
∴k=-1，x₀=1；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=xe^x-x-lnx-1，
h′（x）=（x+1）e^x-$\frac{x+1}{x}$=（x+1）•（e^x-$\frac{1}{x}$），
設(shè)u（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，u′（x）=e^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴u（x）遞增，u（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-2＜0，u（1）=e-1＞0，
∴?x₀∈（$\frac{1}{2}$，1），使得u（x₀）=0，
即${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$=0，∴${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，且x₀=-lnx，
所以h（x）在（0，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增，
h（x）min=h（x₀）=x₀${e}^{{x}_{0}}$-x₀-lnx₀-1=1-x₀-lnx₀-1=0，
∴h（x）≥0恒成立，
∴xe^x≥x+lnx+1，即f（x）≥g（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．