Question

8．在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若-$\frac{1}{2}$tanA=sinBcosC+cosBsinC，且△ABC的面積為2$\sqrt{3}$．
（1）求bc的值；
（2）若b=2c，求a．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用兩角和的正弦公式、同角的基本關(guān)系式，化簡(jiǎn)可得sinA，再由三角形的面積公式，可得bc的值；
（2）求得b，c的值，由余弦定理計(jì)算即可得到所求a的值．

解答 解：（1）-$\frac{1}{2}$tanA=sinBcosC+cosBsinC
=sin（B+C）=sinA，
即2sinA=-$\frac{sinA}{cosA}$（sinA＞0），
可得cosA=-$\frac{1}{2}$，（0＜A＜π），
sinA=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，
可得$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=2$\sqrt{3}$，
解得bc=8；
（2）b=2c，且bc=8，
解得b=4，c=2，
則a²=b²+c²-2bccosA=16+4-2×4×2×（-$\frac{1}{2}$）=28，
解得a=2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和的正弦公式、同角的基本關(guān)系式和正弦定理、余弦定理以及面積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．