Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n=2_an-1+3_an-2（ n≥3，n∈N^*），求通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），a₂+a₁=3，從而an+an+1=3n，進(jìn)而得到{a_n-

1

4

×3n}是等比數(shù)列，公比為-1，由此能求出a_n．

解答： 解：∵在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（ n≥3，n∈N^*），
∴a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），
又a₂+a₁=3，
∴{a_n+a_n+1}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴an+an+1=3n，
∴a_n+1=-a_n+3ⁿ，
∴a_n+1-

1

4

×3n+1=-（a_n-

1

4

×3ⁿ）
∴{a_n-

1

4

×3n}是等比數(shù)列，公比為-1，
∵a₁=1
∴a_n-

1

4

×3n =（1-

3

4

）×（-1）^n-1=

1

4

×（-1）^n-1，
∴a_n=

1

4

×3n+

1

4

×（-1）^n-1=

3n+(-1)n-1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．