Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}，（x＜1）}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，若f（f（a））=lnf（a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，e）
• B． [e，+∞）
• C． [$\frac{3}{2e}$，3]
• D． （2，e]

Answer 1

分析 對(duì)a討論，分a＜1，a=1，1＜a＜e，a≥e，結(jié)合分段函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到a的范圍．

解答 解：由x＜1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$遞增，且有f（x）＜0；
由x≥1，f（x）=lnx遞增，且有f（x）≥0，
若f（f（a））=lnf（a），
若a＜1，則f（a）＜0，不成立；
當(dāng)a≥1時(shí)，f（a）=lna≥0，（a=1顯然不成立），
當(dāng)1＜a＜e，可得0＜lna＜1，f（a）=lna∈（0，1），
則f（f（a））=f（lna）=$\frac{1}{2}$lna-$\frac{1}{2}$∈（-$\frac{1}{2}$，0），
lnf（a）=ln（lna）＜0，
f（f（a））=lnf（a）不恒成立．
當(dāng)a≥e時(shí)，f（a）=lna≥1，
即有f（f（a））=f（lna）=ln（lna），
lnf（a）=ln（lna），
則f（f（a））=lnf（a）恒成立．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，注意運(yùn)用分類(lèi)討論思想方法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．