設｛an｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是前n項和.

（Ⅰ）證明：＜lgSn＋1；

（Ⅱ）是否存在常數(shù)C＞0使得=lg（Sn+1－C）成立?并證明你的結(jié)論.

 

答案：
解析：

（Ⅰ）證明：設｛an｝的公比為q，由題設知a1＞0，q＞0

（�。┊�q=1時，Sn=a1n，從而

SnSn+2－Sn+12=a1n（n+2）a1－（n+1）2a12=－a12＜0

（ⅱ）當q≠1時，Sn=，從而

SnSn+2－Sn+12==－a12qn＜0

由（�。┖停áⅲ┑�SnSn+2＜Sn+12

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知lg（SnSn+2）＜lgSn+12

即＜lgSn+1.

（Ⅱ）解：不存在.

證法一：要使=lg（Sn+1－C）成立，則有

　　
　　 　　

①②

　　 　　
 

分兩種情況討論：

（�。┊�q=1時，

（Sn－C）（Sn+2－C）－（Sn+1－C）2＝

（a1n－C）［a1（n+2）－C］－［a1（n+1）－C］2

=－a12＜0

可知，不滿足條件①，即不存在常數(shù)C＞0，使結(jié)論成立.

（ⅱ）當q≠1時，

（Sn－C）（Sn+2－C）－（Sn+1－C）2

因a1qn≠0，若條件①成立，故只能是a1－C（1－q）=0，即C=，此時因為C＞0，a1＞0，所以0＜q＜1，但是0＜q＜1時，Sn－＜0，不滿足條件②，即不存在常數(shù)C＞0，使結(jié)論成立.

綜合（ⅰ）、（ⅱ），同時滿足條件①，②的常數(shù)C＞0不存在，即不存在常數(shù)C＞0，

使=lg（Sn＋1－C）

證法二：用反證法，假設存在常數(shù)C＞0，使

　　
　　 　　

①②③

　　

 

　　

④

　　 　　
 
則有

由④得SnSn+2－Sn+12=C（Sn+Sn+2－2Sn+1　　    ⑤

根據(jù)平均值不等式及①、②、③、④知

Sn+Sn+2－2Sn+1=（Sn－C）+（Sn+2－C）－2（Sn+1－C）

≥－2（Sn+1－C）=0

因為C＞0，故⑤式右端非負，而由（Ⅰ）知，⑤式左端小于零，矛盾，

故不存在常數(shù)C＜0，使=lg（Sn+1－C）.

 


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（12分）設｛an｝是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，Sn是其前n項和
（1）若Sn＝20，S2n＝40，求S3n的值；
（2）若互不相等正整數(shù)p，q，m，使得p＋q＝2m，證明：不等式SpSq＜S成立；
（3）是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列｛an｝，使ka－1＝S2n－Sn+1恒成立（n∈N*），若存在，試求出常數(shù)k和數(shù)列｛an｝的通項公式；若不存在，請說明理由。

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(本題滿分14分) 設｛an｝是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，Sn是其前n項和

（1）若，求的值；

（2）若互不相等正整數(shù)p，q，m，使得p＋q＝2m，證明：不等式成立；

（3）是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列｛an｝，使恒成立（n∈N*），若存在，試求出常數(shù)k和數(shù)列｛an｝的通項公式；若不存在，請說明理由。

 

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    （1）若Sn＝20，S2n＝40，求S3n的值；

    （2）若互不相等正整數(shù)p，q，m，使得p＋q＝2m，證明：不等式SpSq＜S成立；

    （3）是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列｛an｝，使ka－1＝S2n－Sn+1恒成立（n∈N*），若存在，試求出常數(shù)k和數(shù)列｛an｝的通項公式；若不存在，請說明理由。

 

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