已知函數(shù)f(x)=
x2+ax+1x-1
(a≠-2)
的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,1)對(duì)稱.
(I)求a的值;
(II)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)設(shè)函數(shù)g(x)=x3-3c2x-2c(c≤-1).若對(duì)任意x1∈[2,4],總存在x2∈[-1,0],使得f(x1)=g(x2)成立,求c的取值范圍.
分析:(I)f(x)=
x2+ax+1
x-1
(a≠-2)
=x-1+
a+2
x-1
+a+2,由y=x+
a+2
x
(a≠2)的圖象有一個(gè)唯一的對(duì)稱中心(0,0),f(x)的對(duì)稱中心是(b,1),能求出a.
(II)由a=-1,b=1,知f(x)=
x2-x+1
x-1
.f(x)=
(2x-1)(x-1)-(x2-x+1)
(x-1)2
=
x(x-2)
(x-1)2
,由此能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅲ)由g(x)=x3-3c2x-2c(c≤-1),得g′(x)=3x2-3c2=3(x2-c2),由對(duì)任意x1∈[2,4],總存在x2∈[-1,0],使得f(x1)=g(x2)成立推導(dǎo)出-2c≤3<
13
3
≤3c2-2c-1
,其中c≤-1.由此能求出c的取值范圍.
解答:解:(I)∵f(x)=
x2+ax+1
x-1
(a≠-2)

=
(x-1)2+(a+2)x
x-1

=x-1+
a+2
x-1
+a+2,
∵y=x+
a+2
x
,(a≠2)的圖象有一個(gè)唯一的對(duì)稱中心(0,0),
∴f(x)有唯一一個(gè)對(duì)稱中心(1,a+2),
∵f(x)的對(duì)稱中心是(b,1),∴a=-1,b=1.
故a=-1.
(II)∵a=-1,b=1,∴f(x)=
x2-x+1
x-1

f(x)=
(2x-1)(x-1)-(x2-x+1)
(x-1)2
=
x(x-2)
(x-1)2

列表討論:
 x  (-∞,0)  0 (0,1)  1  (1,2)  2  (2,+∞)
 f′(x) +  0 -  不存在 - 0 +
 f(x) -1  不存在  3
∴函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-∞,0)和(2,+∞),減區(qū)間為(0,1)和(1,2).
(Ⅲ)由g(x)=x3-3c2x-2c(c≤-1),得
g′(x)=3x2-3c2=3(x2-c2),
當(dāng)x2∈[-1,0]時(shí),g′(x2)≤0,
∴g(x2)∈[g(0),g(-1)].即g(x2)∈(-2c,-2c-1),
∵f(x)在[2,4]上是增區(qū)數(shù),f(2)=3,f(4)=
13
3
,
f(x1)∈[3,
13
3
]

∵任意x1∈[2,4],總存在x2∈[-1,0],使得f(x1)=g(x2)成立,
∴-2c≤3<
13
3
≤3c2-2c-1
,其中c≤-1.
-2c≤3
c≤-1
3c2-2c-
16
3
≥0
,解得-
3
2
≤c≤
1-
17
3

故c的取值范圍是[-
3
2
1-
17
3
].
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的對(duì)稱中心的應(yīng)用,考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實(shí)數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請(qǐng)求出a的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對(duì)任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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