Question

已知函數(shù)f(x)=cos(2x-

π

3

)+sin2x-cos2x．
（I）求出f（x）的最小正周期及函數(shù)f（x）圖象的對稱中心；
（II）設(shè)g（x）=f（x+φ），若函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，求滿足條件的最小正數(shù)φ的值．

Answer 1

分析：（I）由題意可得：f（x）=sin(2x-

π

6

)，根據(jù)正弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)可得：函數(shù)的最小正周期與函數(shù)圖象的對稱中心．
（II）由題意可得：f（x+φ）=sin[2(x+φ)-

π

6

]=sin(2x+2φ-

π

6

)，根據(jù)函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，可得φ=

π

3

+

1

2

kπ（k∈Z），進(jìn)而得到答案．

解答：解：（I）由題意可得：
f(x)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin(2x-

π

6

)．
所以函數(shù)的最小正周期T=

2π

2

=π．
令2x-

π

6

=kπ，
即x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z）．
所以函數(shù)f（x）圖象的對稱中心是(

kπ

2

+

π

12

，0)（k∈Z）．
（II）f（x+φ）=sin[2(x+φ)-

π

6

]=sin(2x+2φ-

π

6

)，
因為函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，
所以2φ-

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z）．
所以φ=

π

3

+

1

2

kπ（k∈Z）．
則滿足條件的最小整數(shù)φ的值為

π

3

．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，如單調(diào)性，奇偶性，周期性以及對稱性等性質(zhì)．