Question

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間，若對于內(nèi)任意，都有成立，則稱函數(shù)是區(qū)間的“函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)（）是否是“函數(shù)”？說明理由；

（2）已知，求證：函數(shù)（）是“函數(shù)”；

（3）設(shè)函數(shù)是,（）上的“函數(shù)”，，且存在使得，試探討函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)個數(shù)，并用圖象作出簡要的說明（結(jié)果不需要證明）.

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）證明見解析；（3）0、1或2個，圖象見解析.

【解析】

(1)由題意直接判斷即可； (2)由題意直接判斷即可； (3)舉例即可得出結(jié)論．

(1)是，理由如下：

任取，且，

則成立，

故函數(shù)是“函數(shù)”.

(2)證明：事實(shí)上，任取，且，

則成立，即得證；

(3)函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)可以為0、1或2個.

例如，是函數(shù)，如圖，

其零點(diǎn)個數(shù)為0；

是函數(shù)，如圖，

其零點(diǎn)個數(shù)為1；

是函數(shù)，如圖，

其零點(diǎn)個數(shù)為2；

函數(shù)不可能有個零點(diǎn)，假設(shè)均是零點(diǎn)，且，

則由可知，勢必上恒大于，從而導(dǎo)致矛盾.