【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當時,證明:;
(Ⅲ)求證:對任意正整數(shù),都有 (其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)見解析
【解析】
(Ⅰ)先求,再對 進行討論即可.
(Ⅱ)由題知即證,構造新函數(shù)設,利用導數(shù)只需即得證.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,累加作和即得證.
(Ⅰ)易得,函數(shù) ,
①當時,,所以在上單調(diào)遞增
②當時,令,解得 .
當時,,所以,
所以在上單調(diào)遞減;
當時,,所以,
所以在上單調(diào)遞增.
綜上,當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(Ⅱ)當 時,.
要證明,
即證,即. 即.
設則
令得,.
當時,,
當時,.
所以為極大值點,也為最大值點
所以.
即.
故.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,.
令,
則 ,
所以
,
即
所以.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為迎接“五一”節(jié)的到來,某單位舉行“慶五一,展風采”的活動.現(xiàn)有6人參加其中的一個節(jié)目,該節(jié)目由兩個環(huán)節(jié)可供參加者選擇,為增加趣味性,該單位用電腦制作了一個選擇方案:按下電腦鍵盤“Enter”鍵則會出現(xiàn)模擬拋兩枚質地均勻骰子的畫面,若干秒后在屏幕上出現(xiàn)兩個點數(shù)和,并在屏幕的下方計算出的值.現(xiàn)規(guī)定:每個人去按“Enter”鍵,當顯示出來的小于時則參加環(huán)節(jié),否則參加環(huán)節(jié).
(1)求這6人中恰有2人參加該節(jié)目環(huán)節(jié)的概率;
(2)用分別表示這6個人中去參加該節(jié)目兩個環(huán)節(jié)的人數(shù),記,求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.
(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程;
(2)設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某景區(qū)的各景點從2009年取消門票實行免費開放后,旅游的人數(shù)不斷地增加,不僅帶動了該市淡季的旅游,而且優(yōu)化了旅游產(chǎn)業(yè)的結構,促進了該市旅游向“觀光、休閑、會展”三輪驅動的理想結構快速轉變.下表是從2009年至2018年,該景點的旅游人數(shù)(萬人)與年份的數(shù)據(jù):
第年 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
旅游人數(shù)(萬人) | 300 | 283 | 321 | 345 | 372 | 435 | 486 | 527 | 622 | 800 |
該景點為了預測2021年的旅游人數(shù),建立了與的兩個回歸模型:
模型①:由最小二乘法公式求得與的線性回歸方程;
模型②:由散點圖的樣本點分布,可以認為樣本點集中在曲線的附近.
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),求模型②的回歸方程.(精確到個位,精確到0.01).
(2)根據(jù)下列表中的數(shù)據(jù),比較兩種模型的相關指數(shù),并選擇擬合精度更高、更可靠的模型,預測2021年該景區(qū)的旅游人數(shù)(單位:萬人,精確到個位).
回歸方程 | ① | ② |
30407 | 14607 |
參考公式、參考數(shù)據(jù)及說明:
①對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為.②刻畫回歸效果的相關指數(shù);③參考數(shù)據(jù):,.
5.5 | 449 | 6.05 | 83 | 4195 | 9.00 |
表中.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年春節(jié)期間,我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況,在某高速公路收費點記錄了大年初三上午9:20~10:40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù),統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有600輛車通過該收費點,它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示,其中時間段9:20~9:40記作區(qū)間,9:40~10:00記作,10:00~10:20記作,10:20~10:40記作.例如:10點04分,記作時刻64.
(1)估計這600輛車在9:20~10:40時間段內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);
(2)為了對數(shù)據(jù)進行分析,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛,再從這10輛車中隨機抽取4輛,設抽到的4輛車中,在9:20~10:00之間通過的車輛數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望;
(3)由大數(shù)據(jù)分析可知,車輛在每天通過該收費點的時刻T服從正態(tài)分布,其中可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替,可用樣本的方差近似代替(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表),已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點,估計在9:46~10:40之間通過的車輛數(shù)(結果保留到整數(shù)).
參考數(shù)據(jù):若,則,,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且滿足a2+c2-b2=ac.
(1)求角B的大。
(2)若2bcos A=(ccosA+acosC),BC邊上的中線AM的長為,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的最大值;
(2)令,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若,正實數(shù)滿足,證明.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù)f(x),若存在區(qū)間A=[m,n],使得{y|y=f(x),x∈A}=A,則稱函數(shù)f(x)為“同域函數(shù)”,區(qū)間A為函數(shù)f(x)的一個“同域區(qū)間”.給出下列四個函數(shù):
①;②f(x)=x2-1;③f(x)=|2x-1|;④f(x)=log2(x-1).
存在“同域區(qū)間”的“同域函數(shù)”的序號是__________.(請寫出所有正確結論的序號)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2ax-x2-3ln x,其中a∈R,為常數(shù).
(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若x=3是f(x)的極值點,求f(x)在x∈[1,a]上的最大值.
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