Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上有定義，對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fk(x)=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，取函數(shù)f(x)=

5

2

x2-3x2lnx，若對(duì)任意的x∈（0，+∞），恒有f_k（x）=f（x），則K的最小值為

3

2

e

2

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)新定義的函數(shù)建立f_k（x）與f（x）之間的關(guān)系，通過(guò)二者相等得出實(shí)數(shù)k滿足的條件，利用導(dǎo)數(shù)或者函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，進(jìn)而求出k的范圍，進(jìn)一步得出所要的結(jié)果．

解答：解：∵函數(shù)fk(x)=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，
對(duì)任意的x∈（0，+∞），恒有f_k（x）=f（x），
∴k≥f（x）_最大值，
由于f′（x）=5x-3x-6xlnx=2x-6xlnx，
令f′（x）=0，解得x=0（舍），或x=e

1

3

，
當(dāng)0＜x＜e

1

3

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞e

1

3

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
故當(dāng)x=e

1

3

時(shí)，f（x）取到最大值f（e

1

3

）=

3

2

e

2

3

．
故當(dāng)k≥

3

2

e

2

3

時(shí)，恒有f_k（x）=f（x）．
因此K的最小值是

3

2

e

2

3

．
故答案為：

3

2

e

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．