Question

已知圓x²+y²=25，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）過(guò)點(diǎn)P（0，3

2

）的直線l被該圓截得的弦長(zhǎng)為8，求直線l的方程；
（2）△ABC內(nèi)接于此圓，點(diǎn)A的坐標(biāo)（3，4），若直線AB與直線AC的傾斜角互補(bǔ)，求證：直線BC的斜率為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）當(dāng)直線的斜率不存在，檢驗(yàn)不符合題意．若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程：kx-y+3

2

=0，由題意可知弦心距為3求得k的值，可得直線的方程，綜合可得結(jié)論．
（2）若直線AB與直線AC的傾斜角互補(bǔ)，則他們的斜率互為相反數(shù)，又由他們都經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，則可以設(shè)出他們的點(diǎn)斜式方程，代入圓方程后，求出BC兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入斜率公式，即可求證出正確的結(jié)論．

解答： 解：（1）若直線的斜率不存在，即x=0時(shí)，求得y=±5，此時(shí)弦長(zhǎng)為10，不符合題意．
若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程：y=kx+3

2

，即kx-y+3

2

=0．
由題意可知弦心距為

52-42

=3，即

|0-0+3 2 |

k2+1

=3，求得k=±1，
故直線l的方程為x-y+3

2

=0，或x+y-3

2

=0．
綜上所述：直線方程是x-y+3

2

=0，或x+y-3

2

=0．
（2）證明：∵△ABC內(nèi)接于此圓，點(diǎn)A的坐標(biāo)（3，4），直線AB與直線AC的傾斜角互補(bǔ)，
設(shè)AB：y=k（x-3）+4，代入圓的方程整理得：（1+k²）x²+（8k-6k²）x+9k²-24k-9=0．
∵3，x₁是上述方程的兩根，∴x₁=

3k2-8k-3

1+k2

，y₁=

-4k2-6k+4

1+k2

．
同理求得x₂=

3k2+8k-3

1+k2

，y₂=

-4k2+6k+4

1+k2

，
∴BC的斜率K_BC=

y1-y2

x1-x2

=

3

4

，顯然為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想；還考查了韋達(dá)定理、斜率公式，屬于中檔題．