Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x-16，
（1）求曲線y=f（x）在點（2，-6）處的切線的方程．
（2）如果曲線y=f（x）的某一切線與直線y=-

1

4

x+3垂直，求切點坐標(biāo)與切線的方程．

Answer 1

分析：（1）確定點（2，-6）在曲線上，求導(dǎo)函數(shù)，可得切線斜率，從而可得切線方程；
（2）利用曲線y=f（x）的某一切線與直線y=-

1

4

x+3垂直，可得斜率的積為-1，從而可求切點坐標(biāo)與切線的方程．

解答：解：（1）∵f（2）=2³+2-16=-6，∴點（2，-6）在曲線上．…（2分）
∵f′（x）=（x³+x-16）′=3x²+1，
∴在點（2，-6）處的切線的斜率為k=f′（2）=3×2²+1=13．…（4分）
∴切線的方程為y=13（x-2）+（-6），即y=13x-32．…（5分）
（2）∵切線與直線y=-

x

4

+3垂直，
∴斜率k=4，∴設(shè)切點為（x₀，y₀），…（7分）
則f′（x₀）=3x

2 0

+1=4，
∴x₀=±1，
x₀=1時，y₀=-14；x₀=-1，y₀=-18，
即切點坐標(biāo)為（1，-14）或（-1，-18）．…（9分）
切線方程為y=4（x-1）-14或y=4（x+1）-18．
即y=4x-18或y=4x-14．…（10分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．