Question

已知

a

=（cosx+sinx，sinx），

b

=（cosx-sinx，2cosx），設(shè)f（x）=

a

•

b

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣變換得到y(tǒng)=f（x）的圖象，試寫出變換過程；
（3）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），于是可求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）利用三角函數(shù)的圖象變換，即可寫出變換過程；
（3）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，故2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性及可求得答案．

解答：解：∵f（x）=

a

•

b

=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2sinxcosx
=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x
=

2

sin（2x+

π

4

），
∴f（x）的最小正周期T=π；
（2）把y=sinx的圖象上所有點向左平移

π

4

個單位得到y(tǒng)=sin（x+

π

4

）的圖象，再把y=sin（x+

π

4

）圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

，縱坐標(biāo)不變得到
y=sin（2x+

π

4

）的圖象，再把y=sin（2x+

π

4

）圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的

2

倍，橫坐標(biāo)不變得到y(tǒng)=

2

sin（2x+

π

4

）的圖象；
（3）∵0≤x≤

π

2

，故

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
∴當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時，f（x）有最大值

2

，
當(dāng)2x+

π

4

=

5π

4

，即x=

π

2

時，f（x）有最小值-1．

點評：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．