Question

已知

a

=（cosx+sinx，sinx），

b

=（cosx+sinx，-2sinx），且f（x）=

a

.

b

（1）求f（x）的解析式，并用f（x）=Asin（wx+φ）的形式表示；
（2）求方程f（x）=1的解．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，兩角和與差的正弦函數(shù)，倍角公式，y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義
（1）由

a

=（cosx+sinx，sinx），

b

=（cosx+sinx，-2sinx），根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算公式，我們易得到f（x）=

a

.

b

的解析式，結(jié)合倍角公式及輔助角公式，我們易將其化為正弦型函數(shù)的形式．
（2）由（1）的結(jié)論，我們可在得到一個(gè)三角方程，解三角方程即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）f（x）=

a

.

b

=（cosx+sinx，sinx）．（cosx+sinx，-2sinx）
=（cosx+sinx）²-2sin²x（4分）
=cos²x+2sinxcosx-sin²x=cos2x+sin2x
=

2

sin（2x+

π

4

）（8分）
（2）由f（x）=1得

2

sin（2x+

π

4

）=1
sin（2x+

π

4

）=

2

2

（9分）
∴2x+

π

4

=

π

4

+2kπ（K∈Z）（10分）
或2x+

π

4

=

3π

4

+2kπ（K∈Z）（11分）
所以方程的解為．{x|x=kπ或x=

π

4

+kπ，K∈Z}（12分）

點(diǎn)評(píng)：在三角函數(shù)中，我們常用輔助角公式asinα+bcosα=

a2+b2

sin（α+φ），將三角函數(shù)的表達(dá)式化為正弦型函數(shù)的形式．