Question

已知函數(shù)的極大值點為x=﹣1．
（1）用實數(shù)a來表示實數(shù)b，并求a的取值范圍；
（2）當x∈[﹣1，2]時，f（x）的最小值為，求a的值；
（3）設A（﹣1，f（﹣1）），B（2，f（2）），A，B兩點的連線斜率為k．求證：必存在x₀∈（﹣1，2），使f'（x₀）=k．

Answer 1

解：（1）f'（x₀）=x²+2ax+b，由題設知f'（﹣1）=0
∴b=2a﹣1
韋達定理得另一極值點x=﹣b=1﹣2a，因為x=﹣1為極大值點
故1﹣2a＞﹣1，
∴a＜1
（2）f（x）在（﹣∞，﹣1）上遞增，在（﹣1，1﹣2a）遞減，在（1﹣2a，+∞）上遞增，
故當x∈[﹣1，2]時，分情況如下：
①1﹣2a≥2，即時，f（x）在x∈[﹣1，2]上單調(diào)遞減
∴，解得，不合條件，舍去
②1﹣2a＜2，即時，
∴
∴，化簡得a（2a﹣3）²=0，a=0或，取a=0
綜上，故所求的a=0
（3），即證x₀²+2ax₀+b=3a
即證方程x²+2ax﹣a﹣1=0（a＜1）在x∈（﹣1，2）上有實數(shù)解
記g（x）=x²+2ax﹣a﹣1=0（a＜1），
g（﹣1）=﹣3a，g（2）=3a+3
①當g（﹣1）g（2）=﹣3a（a+1）＜0，即a＜﹣1或0＜a＜1時，
由零點存在定理知此時方程有解
②a＜0時，此時△=4（a²+a+1）＞0，g（2）＞0，g（﹣1）＞0，且二次函數(shù)g（x）的對稱軸x=﹣a∈（0，1）（﹣1，2），由此可知此時方程在（﹣1，2）內(nèi)有兩個解
③a=﹣1時方程有一根為x=0，當a=0時方程有一根為x=1
綜上可知，方程x²+2ax﹣a﹣1=0（a＜1）在x∈（﹣1，2）上有實數(shù)解．
即必存在x₀∈（﹣1，2），使f'（x₀）=k．