【題目】已知函數(shù)是的一個極值點.

（1）若是的唯一極值點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）討論的單調(diào)性；

（3）若存在正數(shù)，使得，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）；（2）當時， 在遞減，在上遞增，當時， 在,上遞增，在上遞減,當時， 在, 上遞增，在遞減， 時， 在上遞增；（3）或.

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導，由是極值點得，由此可得，即，由函數(shù)有唯一極值點可得恒成立或恒成立，由恒成立得，后者不可能，故可得的取值范圍；（2）對導函數(shù)的零點進行討論，分為， ， 和四種情形可得導數(shù)與0的關系進而得其單調(diào)性；（3）依據(jù)（2）中結果，當時，當時， 均滿足題意；當時，根據(jù)單調(diào)性或成立即可，當時， 滿足題意.

試題解析：（1）， 是極值點

，故， ，

是唯一的極值點， 恒成立或恒成立

由恒成立得，又 ，由恒成立得，而不存在最小值， 不可能恒成立.

（2）由（1）知，當時， ， ； ， .

在遞減，在上遞增；當時， ， ， ； ， ； ， ， 在、上遞增，在上遞減，當時， 在、 上遞增，在遞減。

時， 在上遞增.

（3）當時， ，滿足題意；當時， ，滿足題意；當時，由（2）知需或，

當時， ，而，故存在使得，這樣時的值域為從而可知滿足題意

當時，得或者解得；

當時， 可得滿足題意， 的取值范圍或.

練習冊系列答案
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A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

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A. B. C. D.

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