Question

14．己知向量$\overrightarrow{a}$=（2，sinθ），$\overrightarrow$=（1，cosθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$）
（1）若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$\frac{7}{3}$，求sinθ+cosθ的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求sin（2θ+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）運用向量的數量積的坐標表示，結合同角三角函數的基本關系式，化簡計算即可得到所求值；
（2）運用向量共線坐標表示，求得tanθ=2，再由二倍角公式和兩角和的正弦公式，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）由向量$\overrightarrow{a}$=（2，sinθ），$\overrightarrow$=（1，cosθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
可得$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=2+sinθcosθ=$\frac{7}{3}$，
即sinθcosθ=$\frac{7}{3}$-2=$\frac{1}{3}$，
則sinθ+cosθ=$\sqrt{（sinθ+cosθ）^{2}}$=$\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ+2sinθcosθ}$
=$\sqrt{1+\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$；
（2）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則2cosθ=sinθ，即tanθ=2，
sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{2sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{2tanθ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{2×2}{1+{2}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
cos2θ=cos²θ-sin²θ=$\frac{co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}$=$\frac{1-ta{n}^{2}θ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{1-4}{1+4}$=-$\frac{3}{5}$，
則sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=sin2θcos$\frac{π}{3}$+cos2θsin$\frac{π}{3}$
=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$+（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

點評 本題考查三角函數的求值，注意運用三角函數的恒等變換公式，同時考查向量的數量積和共線條件，考查運算能力，屬于中檔題．