7．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．證明：
（Ⅰ）a6+a5b+ab5+b6≥4；
（Ⅱ）（a+b）3≤8．

分析 （Ⅰ）由柯西不等式即可證明，
（Ⅱ）由均值不等式即可證明

解答 證明（Ⅰ）a6+a5b+ab5+b6=（a+b）（a5+b5）
≥（$\sqrt{a•{a}^{5}}$+$\sqrt{b•^{5}}$）2=（a3+b3）2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)；
（Ⅱ）：∵2=a3+b3=（a+b）（a2+b2-ab）=（a+b）[（a+b）2-3ab]
≥（a+b）[（a+b）2-3（$\frac{a+b}{2}$）2]=$\frac{1}{4}$（a+b）3，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)．
∴（a+b）3≤8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的證明，掌握柯西不等式和均值不等式是關(guān)鍵，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系的長(zhǎng)度單位相同，圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2+2x-2y=0，射線OM的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{3π}{4}$．
（1）求射線OM的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知射線OM與圓C的交于兩點(diǎn)，求相交線段的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于-2，記頂點(diǎn)C的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+2（0＜k＜2）與y軸相交于點(diǎn)P，與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)Q，R（點(diǎn)R在點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間），且$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{PR}$，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

15．將正整數(shù)排成如圖，其中第i行第j列（按照從左到右的順序）的那個(gè)數(shù)記為a（i，j），則數(shù)表中的2017應(yīng)記為2017（81，45）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．某校從高一年級(jí)隨機(jī)抽取了20名學(xué)生第一學(xué)期的數(shù)學(xué)學(xué)期綜合成績(jī)和物理學(xué)期綜合成績(jī)列表如下
 學(xué)生序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 910 
 數(shù)學(xué)學(xué)期綜合成績(jī) 96 92 91 91 81 76 82 79 90 93
 物理學(xué)期綜合成績(jī) 91 91 90 92 90 78 91 71 78 84
 
學(xué)生序號(hào)		 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
 數(shù)學(xué)學(xué)期綜合成績(jī) 68 72 79 70 64 61 63 66 53 59
 物理學(xué)期綜合成績(jī) 79 78 62 72 62 60 68 72 56 54
規(guī)定：綜合成績(jī)不低于90分者為優(yōu)秀，低于90分為不優(yōu)秀
（1）在序號(hào)1，2，3，4，5，6這6個(gè)學(xué)生中隨機(jī)選兩名，求這兩名學(xué)生數(shù)學(xué)和物理都優(yōu)秀的概率
（2）根據(jù)這次抽查數(shù)據(jù)，列出2×2列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)有關(guān)？
附：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
 p（K2≥k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

12．對(duì)于線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$，下列說法中不正確的是（　�。�
A．$\hat b$叫做回歸系數(shù)
B．當(dāng)$\hat b$＞0，x每增加一個(gè)單位，y平均增加$\hat b$個(gè)單位
C．回歸直線必經(jīng)過點(diǎn)$（\overline x，\overline y）$
D．$\hat a$叫做回歸系數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸．過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E．若直線BM與y軸交點(diǎn)為N，且$\overrightarrow{EO}=3\overrightarrow{NO}$，則C的離心率為（　�。�
A．$\frac{1}{3}$B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{2}{3}$D．$\frac{3}{4}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

16．復(fù)數(shù)z滿足$\frac{z}{1+i}=zi+1$，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為（　�。�
A．$\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i$B．$\frac{3}{5}-\frac{1}{5}i$C．$\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i$D．$\frac{1}{5}-\frac{3}{5}i$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．在數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0，1）．
（1）設(shè)bn=an+1-an（n∈N*），證明{bn}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）若a3是a6與a9的等差中項(xiàng)，求q的值，并證明：對(duì)任意的n∈N*，an是an+3與an+6的等差中項(xiàng)．

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